2023年数学竞赛平面几何讲座四点共圆问题.doc

1、数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题以下是查字典数学网为您推荐的 数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题，希望本篇文章对您学习有所帮助。数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题四点共圆问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以四点共圆作为证题的目的，二是以四点共圆作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.1 四点共圆作为证题目的例1.给出锐角ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.欲证M，N，P，Q四点共圆，须证MKKN=PKKQ，即证(MC-K

2、C)(MC+KC)=(PB-KB)(PB+KB)或MC2-KC2=PB2-KB2 . 不难证明 AP=AM，从而有AB2+PB2=AC2+MC2.故 MC2-PB2=AB2-AC2=(AK2-KB2)-(AK2-KC2)=KC2-KB2. 由即得，命题得证.例2.A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为OAB，OBC，OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察OBC及其外接圆，立得OO2O1= OO2B=OCB.观察OCA及其外接圆，立得OO3O1= OO3A=OCA.由OO2O1=OO3O1

3、O，O1，O2，O3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.2 以四点共圆作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等例3.在梯形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分别在AD，BC上，DAM=CBK.求证：DMA=CKB.分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，有DAB=CMK.DAB+ADC=180，CMK+KDC=180.故C，D，K，M四点共圆 CMD=DKC.但已证AMB=BKA，DMA=CKB.(2)证线垂直例4.O过ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).ABC外接圆和BKN外接

4、圆相交于B和M.求证：BMO=90.分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助四点共圆，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得GMC=BAC=BNK=BMK.而COK=2BAC=GMC+BMK=180CMK，COK+CMK=180 C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由OC=OK OC=OK OMC=OMK.但GMC=BMK，故BMO=90.(3)判断图形形状例5.四边形ABCD内接于圆，BCD，ACD，ABD，ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形.分析：连接AIC，AID，BIC，BID

5、和DIB.易得AICB=90ADB=90+ACB=AIDB A，B，ID，IC四点共圆.同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时AICID=180ABID =180ABC，AICIB=180ADIB=180ADC，AICID+AICIB=360- (ABC+ADC)=360- 180=270.故IBICID=90.同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90.该四边形必为矩形.(4)计算例6.正方形ABCD的中心为O，面积为19892.P为正方形内一点，且OPB=45，PA:PB=5:14.则PB=_分析：答案是PB=42.怎样得到的呢?连接OA，OB.易知O，P，A，B四点共圆，有APB=AO

6、B=90.故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7.设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).分析：设EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上.作正EFG的高EK，易知E，K，G，D四点共圆 KDE=KGE=60.同理，KAE=60.故KAD也是一个正三角形，K必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S= 也最小.当KF通过B点时

7、，边长为2 ，这时边长最大，面积S=2 -3也最大.例8.NS是O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交O于Q.求证：RSMQ.分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交O于Q.连接MQ，SQ.易证N，M，R，P四点共圆，从而，SNQ=MNR=MPR=SPQ=SNQ.根据圆的轴对称性质可知Q与Q关于NS成轴对称 MQ=MQ.又易证M，S，Q，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(RMS=90)，MQ是一条弦(MSQ90)，故RSMQ.但MQ=MQ，所以，RSMQ.练习题1.O1交O2 于A，B两点，射线O1A交O2 于C点，射线O2A交O1 于D点.求

8、证：点A是BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.ABC为不等边三角形.A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2;同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证ABA1与ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆;再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是ABC的外接圆上，并注意A1AA2=90.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：M1M2M3也是正三角形.4.在RtABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过

9、A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。5.AD，BE，CF是锐角ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.

10、(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。查字典数学网要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。第 7 页